Das Newtonsche Näherungsverfahren

ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Damit können auch Gleichungen, die analytisch nicht exakt lösbar sind, auf numerischem Weg gelöst werden.

Aufgabenstellung:

Gesucht ist eine Nullstelle einer im Intervall [a; b] stetigen Funktion f, wobei f in ]a; b[ zweimal stetig differenzierbar sein soll und der Bedingung genügen muss.

Herleitung des Newtonschen Näherungsverfahrens

Newtonsches Näherungsverfahren 
Man beginnt mit einem frei wählbaren Startwert x1, der "nahe genug" bei der gesuchten Lösung liegt, und berechnet jeden weiteren Näherungswert mit der Iterationsformel ; dann konvergiert die Folge <x1, x2, x3, ...> gegen die Lösung x0 der Gleichung f(x) = 0.

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A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Aufgaben:  

  • Verändere den Startwert x1!

  • An welcher Stelle darf der Startwert nicht liegen, da die Iteration sonst abbricht?
    Lösung:

  • Finde einen Startwert zur Berechnung der Nullstelle N1, der zwischen 0.5 und 1 liegt!

  • Finde einen Startwert zur Berechnung der Nullstelle N3, der zwischen -0.5 und 0 liegt!

  • Werden immer die dem Startwert nächstgelegenen Nullstellen ermittelt?

Übungen

  1. Berechne händisch die ersten 4 Näherungswerte der Nullstelle N3 für die Funktion f(x) = x3 - x2 - x + 0.5, wenn man als Startwert x1 = 2.5 wählt, und vergleiche mit den angegebenen Werten in der Konstruktion!
    Lösung:

  2. Löse die Gleichung 3.sin3x + sin x = 1 im Intervall [0; 2p] (1) händisch; (2) indem man die Nullstellen der entsprechenden Funktion in der GeoGebra-Konstruktion bestimmt.
    Lösung:

  3. Berechne die auf 4 Nachkommastellen genau! 
    Hinweis: Die entsprechende Gleichung lautet x2 = 3 bzw. die entsprechende Funktion f(x) = x2 - 3.
    Lösung: