Einfache Verzinsung und Zinseszins

Aufgabe: Vergleiche die beiden Darstellungen für einfache Verzinsung und Zinseszins bei unterschiedlicher Verzinsungen p. Welche Form der Anlage ist für den Kunden einer Bank vernünftiger?
Notiere deine Ergebnisse.
Einfachen Verzinsung

Bei einer einfachen Verzinsung werden in jedem Jahr nur die einfachen Zinsen in der Höhe von K0·p/100 zum Anfangskapital K0 hinzugerechnet.
Die Zinsen der weiteren Jahre werden immer nur vom Anfangskapital K0 berechnet.

Zinseszinsrechnung

Bei einer Verzinsung mit Zinseszinsrechnung werden jedes Jahr die Zinsen des vorangegangenen Jahren wiederum verzinst, d. h. das Kapital K0 wird in jedem Jahr mit (1+ p/100) multipliziert.

Aufgabe
  • Verändere die Zinssätze p bei beiden Verzinsungsformen und beobachte die jeweilige Veränderung des Kapitals in den folgenden n Jahren.

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© Medienvielfalt und Mathematik-digital 2008, erstellt mit GeoGebra

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Die beiden Formel für die Zunahme des Kapitals sind eigentlich nur für ganze Jahre (n Î N) anwendbar, da die Bank jährlich verzinst. Für Teile eines ganzen Jahres wird einfach verzinst.
Der Graph für das Kapital nach n ganzen Jahren besteht deshalb aus einzelnen Punkten.

Näherungsweise kannst du aber auch mit einem Exponenten x Î R arbeiten, und das Kapital beispielsweise zum Zeitpunkt x = 1,75 Jahre berechnen.
Der Graph für das Kapital nach einer beliebigen Zeitspanne x besteht in diesem Fall aus einer durchgehenden Kurve.

Diese kontinuierliche Entwicklung kannst du über das Kontrollkästchen ein- bzw. ausschalten.

Aufgabe:
a) Beschreibe das Anwachsen des Kapitals in beiden Fällen mit eigenen Worten.
b) Berechne den Kapitalstand nach 20 Jahren bei einer Verzinsung von p = 4,5 %  für
    (1) einfache Verzinsung und   (2) mit Zinseszins.
Lösung  ausblenden 
a) Im Fall der einfachen Verzinsung entwickelt sich das Kapital entsprechend einer linearen Funktion; bei Zinseszinsrechnung steigt das Kapital stärker an - die Zunahme erfolgt nicht linear, sondern exponentiell!
b) (1) K20 = 1.900 €;    (2) K20 = 2.411,71 €
Das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K0·(1+p/100)x beschreibt die Funktionsgleichung für einen neuen Funktionstyp. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.
 
Definition:

Die Funktion f: RR, f(x) = c·ax (c Î R*, a Î R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.